方程化简的公式根据方程类型不同而有所差异，以下是主要类型的化简公式及说明：

一、一元二次方程

求根公式：

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

（适用条件：$a \neq 0$，判别式$\Delta = b^2 - 4ac \geq 0$）

配方法：

$$ax^2 + bx + c = 0 \Rightarrow x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} \Rightarrow \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$$

二、一元三次方程

卡尔丹公式：

$$x = \sqrt{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}}$$

（适用条件：方程为标准形式$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$，需通过参数化转换）

三、分式化简

通分法则：

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$$

四、幂与根式化简

幂的乘法：

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

根式乘法：

$$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$$

五、其他常见方程

一元一次方程：

$$ax + b = c \Rightarrow x = \frac{c - b}{a}$$

相遇/追及问题：

相遇：$S_1 + S_2 = D$（$S_1, S_2$为速度，$D$为距离）

追及：$S_1 - S_2 = D$（快车先跑再折返）

以上公式需根据具体方程类型选择适用方法，实际应用中可能需结合多种技巧化简。