十字交叉法是一种用于解决比例混合、溶液混合等问题的简便方法，其核心是通过交叉相乘简化计算。以下是具体运算步骤及应用要点：

一、基本公式与原理

十字交叉法适用于满足以下条件的方程：

$$M_1 \cdot n_1 + M_2 \cdot n_2 = M \cdot (n_1 + n_2)$$

其中：

$M_1, M_2$：两组分的平均量（如浓度、密度等）

$n_1, n_2$：两组分的数量

$M$：混合后的平均量

通过变形可得比例关系：

$$\frac{M_1 - M}{M_2 - M} = \frac{n_2}{n_1}$$

或

$$\frac{M_2 - M}{M_1 - M} = \frac{n_1}{n_2}$$

二、具体运算步骤

识别问题类型

确定是否涉及比例混合（如溶液浓度、人数增长率等）。

列出方程

根据题目条件建立方程，例如：

- 溶液混合：$M_1 \cdot x + M_2 \cdot y = （M_1 + M_2） \cdot z$（$x, y$为各组分量，$z$为混合后平均量）。

- 增长率问题：$A \cdot a + B \cdot b = （A + B） \cdot r$（$a, b$为增长率，$r$为总增长率）。

交叉相乘求解

将方程变形为比例形式，通过交叉相乘计算未知量。例如：

- 溶液混合：$\frac{M_1 - M}{M_2 - M} = \frac{y}{x}$。

- 增长率问题：$\frac{r - b}{a - r} = \frac{A}{B}$。

三、应用示例

溶液混合

已知98%浓硫酸与15%稀硫酸混合后密度为59%，求质量比。设浓硫酸质量为$x$，稀硫酸质量为$y$，则：

$$0.98x + 0.15y = 0.59(x + y)$$

通过十字交叉法可得：

$$\frac{0.98 - 0.59}{0.15 - 0.59} = \frac{y}{x}$$

解得$x:y = 1:1$。

人数增长率

2015年女生人数为$A$，男生人数为$B$，2016年女生增长$a\%$，男生增长$b\%$，总人数增长$r\%$。根据：

$$A \cdot a + B \cdot b = (A + B) \cdot r$$

通过十字交叉法可求出$\frac{A}{B}$。

四、注意事项

适用条件：需满足“交叉相乘后等式成立”，且混合后量（如总质量、总浓度）为已知。

变形技巧：通过移项将方程转化为比例形式，简化计算。

通过以上步骤，可高效解决涉及比例混合的数学问题。