教师编考试主要由 各级人力资源和社会保障局（简称人社局）负责组织和实施。具体流程包括：

教育局向县政府编制办申请补充编制，县政府同意后，指令人社局负责拟订招考简章。

人社局向社会发布招考简章，接收考生报考。

考试结束后，人社局根据考试成绩决定录取名额和人员。

此外，教师编制考试的管理还涉及其他部门，如地方教育局或教育委员会、地方编办或编委办公室、地方党委（县市区委）等，但这些部门在考试过程中主要起辅助和协调作用。

因此，综合来看，教师编考试的主要管辖部门是各级人社局，其他部门则根据各自职责提供相关支持和服务。建议关注当地人社局的官方网站，以获取最新的招考信息。