当家长与老师发生争执时，学生可以通过以下方式道歉：

代家长向老师承认错误

如果学生能够明辨是非，可以代表家长向老师承认错误，并写一封诚恳的道歉信，请求老师原谅。在信中，学生应表达出对错误行为的后悔，并承诺通过努力学习来改正错误，以回报老师的教导。

直接与老师沟通

学生可以私下找到老师，真诚地表达歉意，并说明事情的经过和原因。在沟通时，学生应保持冷静和礼貌，避免情绪化，以便更好地理解对方的立场，并寻求解决问题的方法。

反思自身错误

学生需要反思自己在事件中的行为，认识到自己的错误所在，并在道歉信中详细说明。通过反思，学生可以更好地理解自己的不足，并承诺在未来避免类似事件的发生。

表达悔意和决心

在道歉信中，学生应明确表示对错误行为的悔意，并展示出改正错误的决心。可以通过具体的行动来证明自己的诚意，例如更加努力学习，遵守课堂纪律等。

寻求老师的理解

学生可以请求老师理解自己的立场和感受，并表达出对老师辛勤付出的感激之情。通过表达对老师的尊重和感激，学生可以增进与老师的关系，并争取到老师的谅解。

尊敬的[老师姓名]老师：

您好!我是[学生姓名]的家长。首先，我要代表我自己以及我的家人，向您表示最诚挚的歉意。因为我的不当行为，给您带来了不必要的麻烦和困扰，我深感内疚。

经过深刻的反思，我意识到自己在[具体事件]上的处理不当，缺乏冷静和理智。我深刻认识到自己的错误，并对自己的行为感到十分后悔。我承诺今后会认真反思自己的言行，努力改正自己的缺点，遵守学校纪律，尊重老师的教导。

为了弥补我的过错，我会在今后的学习中更加努力，争取取得更好的成绩，不辜负您的期望。同时，我也希望您能够给予我一个改过自新的机会，让我重新回到课堂，继续接受您的教育和指导。

再次向您表示最诚挚的歉意，并感谢您对我的包容和理解。我会以实际行动来证明自己的诚意和决心。

此致

敬礼!

[学生姓名]

[家长姓名]

[日期]

通过以上方式，学生可以真诚地向老师道歉，并争取到老师的谅解。同时，学生也应从中吸取教训，努力成为一个更好的学生。