一、经典几何问题

圆田面积

已知圆田周长为90步，求田地面积。 *解法*：通过周长公式$C=2\pi r$求半径，再计算面积$S=\pi r^2$。

勾股定理应用

池方五丈（50尺），葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸与岸齐平，求水深和葭长。 *解法*：设水深为$x$尺，则葭长为$x+1$尺，利用勾股定理列方程求解。

方田面积

边长递增的方田，初边一丈，末边十丈，共十层，求总面积。 *解法*：分层计算每层面积并求和，或利用梯形面积公式推导。

二、经典代数问题

同笼问题

鸡兔同笼，三十五头九十四足，问鸡兔各几何？

*解法*：假设法或方程法，设鸡$x$只，兔$y$只，列方程组求解。

物不知数

三三数余二，五五数余三，七七数余二，问物几何？

*解法*：枚举法或中国剩余定理，最小正整数为23。

百鸡问题

百钱买百鸡，鸡翁五元、鸡母三元、鸡雏一元，问各几何？

*解法*：列方程组$5x + 3y + z = 100$，$x + y + z = 100$，枚举整数解。

三、趣味应用题

李白打酒

酒壶原有酒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花后酒尽，求原有酒量。 *解法*：逆向思维，设原有酒$x$斗，逐步推导每遇店和花的酒量变化。

隔壁分银

4个人分银8两，每人应得多少？

*解法*：列方程$4x = 8$，解得$x=2$两/人。

负数问题

仓库存粮为负，求存粮天数。 *解法*：结合实际情境列方程，如$-20 + 5d = 0$，解得$d=4$天。

四、综合应用题

方田杂技

田地被分割为若干块，需计算总面积和总边长，涉及几何与代数结合。

韩信点兵

三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人，求最少士兵数。 *解法*：枚举法或中国剩余定理，最小数为103人。

这些题目不仅考察几何与代数基础，还涉及逻辑推理和问题分解能力，是古代数学教育的核心内容。