毕达哥拉斯发现勾股定理的过程主要与他对几何图形的观察和抽象思维密切相关，具体可归纳为以下几个关键步骤：

一、观察与启发

宴会场景的观察

毕达哥拉斯曾在一次宴会上，被餐厅地面排列的正方形大理石地砖吸引。他注意到，当以地砖对角线为边长绘制正方形时，新正方形的面积恰好等于两块地砖面积之和。这一现象引发了他对几何与数量关系的思考。

几何图形的扩展

他进一步探索，以两块地砖拼成的矩形对角线为边长绘制第二个正方形，发现其面积等于五块地砖面积之和，即两直角边平方和等于斜边平方。这一发现促使他提出了普遍适用的定理假设。

二、抽象与证明

线段与面积的关联

毕达哥拉斯通过实验发现，直角三角形的两条直角边长度的平方和，恰好等于斜边长度的平方。例如，边长为3和4的直角三角形，斜边为5时，满足$3^2 + 4^2 = 5^2$。

几何构造验证

他采用“拼图法”进行验证：将直角三角形的两条直角边延长并连接，形成一个大正方形，中间包含四个全等的小正方形。通过计算发现，大正方形的面积等于四个小正方形面积之和，从而直观验证了定理。

三、理论体系构建

数与形的统一

毕达哥拉斯认为，几何图形与数量之间存在着本质联系，即“万物皆数”。他通过勾股定理将这一思想具象化，为后来的数学发展奠定基础。

数论与几何的结合

该定理是历史上第一个将几何与代数联系起来的数学成就，为代数几何的发展提供了重要范式。

四、历史影响

毕达哥拉斯的发现不仅推动了几何学的发展，还渗透到哲学、宗教等领域。他主张通过数学规律实现社会秩序的和谐，其思想对西方文明产生了深远影响。

总结：

毕达哥拉斯通过观察几何图形中的数量关系，结合抽象思维与实验验证，最终揭示了勾股定理的普遍性，开创了数形结合的数学范式。